El lado matemático del universo
Sobre las supergravedad y las supergeometrías.
En la Naturaleza existen dos tipos de partículas: los bosones y los fermiones. Se distinguen por la estadística que describe conjuntos de partículas idénticas (indistinguibles en Mecánica Cuántica). Si las partículas tienen a su disposición diferentes estados posibles (pensemos, por ejemplo, en los niveles de energía del átomo) los bosones estarán todos en el estado de energía más bajo. Esto da lugar a la estadística de Bose-Einstein, y de ahí el nombre de ‘bosones’. Los fermiones se comportan de manera diferente, y si el estado de energía más baja está ya ‘ocupado’ por otro fermión idéntico, se situarán en sucesivos niveles de energía cada vez más alta. Dos fermiones idénticos no pueden estar en el mismo estado. La estadística que siguen es la de Fermi-Dirac, y de ahí el nombre de ‘fermiones’. El teorema de conexión espín-estadística afirma que los bosones son partículas de espín entero y los fermiones de espín semientero.
Hay interacciones que mezclan bosones y fermiones, pero no se conoce en la Naturaleza una simetría que los mezcle, es decir, las simetrías dejan invariantes los espacios de fermiones y bosones. Un bosón transforma en otro (o varios) bosón y un fermión en un (o varios) fermión. Desde el punto de vista físico uno se puede preguntar por qué esto es así y si es posible construir teorías consistentes con simetrías que mezclen bosones y fermiones: la respuesta es ‘sí’ y son las llamadas teorías supersimétricas. De hecho, no solo pueden ser consistentes, sino que muchas veces tienen un mejor comportamiento en el ultravioleta que las teorías no supersimétricas, lo cual es un indicio de su posible realización en la Naturaleza.
Desde el punto de vista matemático, la necesidad de incluir supersimetría es aún más perentoria: dado que las teorías físicas necesitan para su formulación de variedades con coordenadas tanto bosónicas como fermiónicas, las transformaciones naturales de coordenadas mezclan ambas. Por ejemplo, supongamos que tenemos una supervariedad con dos coordenadas fermiónicas α y β y una coordenada bosónica x.
Una transformación como x→ f(x)+α β y que deja invariantes las coordenadas fermiónicas es una transformación que debe ser considerada junto con las transformaciones ordinarias de coordenadas. Éste es el significado en matemáticas de lo que es una transformación ‘natural’. Por tanto, dado que en la Naturaleza existen bosones y fermiones, las transformaciones supersimétricas deben ocurrir, a menos que haya una razón profunda para que estén prohibidas. No se ha encontrado tal razón, y por tanto concluimos que las transformaciones de supersimetría deben estar de alguna forma realizadas en la Naturaleza.
La supergeometría se ocupa del estudio de las supervariedades y de las diferentes estructuras que pueden construirse sobre ellas. En muchos casos se pueden generalizar las estructuras de las variedades ordinarias, pero las supervariedades tienen características peculiares que no tienen contrapartida en el caso no súper, lo cual hace su estudio más difícil, pero también más interesante.
Sobre las deformaciones cuánticas.
Cuando se trata de resolver a longitudes del orden de la longitud de Planck, l= 1.616199(97) × 10-35m, se necesita una gran cantidad de energía concentrada en un espacio muy pequeño y, desde el punto de vista de la teoría de Einstein, el observador mismo produce el colapso gravitacional y se forman singularidades tipo agujero. No podemos suponer, pues, que a esas distancias el espacio-tiempo se comporte como una variedad suave al modo en que lo hace en la teoría de Einstein. La naturaleza del espacio-tiempo a longitudes tan pequeñas es objeto de discusión, y está intrínsecamente relacionada con las diferentes teorías de gravedad cuántica. Es natural suponer que a esas distancias aparezca la geometría no conmutativa, que implica que hay una relación de incertidumbre entre diferentes coordenadas del espacio-tiempo. Esas coordenadas no pueden ser medidas simultáneamente (como ocurre en la mecánica cuántica entre la posición y el momento de una partícula), y por tanto los puntos son un concepto difuso.
